三角函数·正弦函数、余弦函数的性质

发布时间：2020-11-23

      教学目标

1．掌握正弦函数、余弦函数的性质．

2．通过学习正弦函数、余弦函数的性质，培养学生类比的学习方法和数形结合的思想．

教学重点与难点

难点是函数的周期性．

重点是正弦函数的性质．

教学过程设计

一、复习函数的性质

以前我们对函数性质的研究主要有以下几个方面：函数的定义域、值域、最值、奇偶性、增减性、对称性等．这里我们重点复习奇偶性、增减性及上节课讲的周期性．

（教师可打出投影片复习奇函数、偶函数的定义，函数单调性的定义及周期的定义．）

奇函数、偶函数的定义：若对于函数定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数；若对于函数定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数f（x）叫做偶函数．

函数的单调性：一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x₁，x₂，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），那么就说f（x）在这个区间上是增函数；如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x₁，x₂，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），那么就说f（x）在这个区间上是减函数．

周期性的定义：对于函数y=f（x），T为不等于0的常数，若f（x＋T）=f（x）对于定义域内一切x都成立，则y=f（x）叫周期函数．T为此函数的周期．下面看几个例子．

例1  讨论y=ax²＋bx＋c（a＞0）的性质．

首先画出函数图象的示意图．由图象看出：

定义域  x∈R．

无最大值．

奇偶性  b≠0时，是非奇非偶函数．b＝0时，是偶函数．

大而减小．

例3  讨论y＝log_ax（0＜a＜1）的性质．

画出函数图象示意图2，可看出：

定义域  x＞0．

值域  y∈R．

最值  既无最大值，也无最小值．

奇偶性  是非奇非偶函数．

增减性  是减函数．

对称性  不具备对称性．

以上两个例子都是我们较为熟悉的函数，下面我们用这种方法研究我们刚刚学过的正弦函数和余弦函数的性质．

二、正弦函数的性质

由上述两个例子不难看出在讨论函数性质时要注意观察函数图象，所以在研究正弦函数的性质前，先画出y＝sinx的图象．（画此图象时，为了观察准确，应多画几个周期．）

从图象上可以观察出：

1．定义域：x∈R．

2．值域：y∈［-1，1］

3．周期性：正弦函数y=sinx是周期函数．2π是它的最小正周期，2kπ（k∈Z，k＝0）都是它的周期．

4．增减性：从图象上可以看出正弦函数在整个实数域上不是增函数，也不是减函数，但具有增减区间．引导学生从图象上先标出一个增区间，

5．最值：最大值为1，最小值为-1，但取得最值的时刻不唯一．例

取到最小值．

函数值取最值．而如前面讨论的正弦函数取得最大值时，对应的自变量x的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．

6．奇偶性：正弦函数的图象关于原点中心对称，从中可以看出正弦函数是奇函数．这点可以用代数方法证明如下：

设f（x）=sinx．因为

sin（-x）=-sinx，

即f（-x）=-f（x），由奇函数定义知正弦函数是奇函数．

7．对称性：从前面的讨论已经知道正弦函数的图象是中心对称图形，但除原点外正弦函数图象还有没有其它的对称中心呢？（引导学生将y轴左移或右移7π个单位，2π个单位，3π个单位，……即平移kπ个单位）正弦函数图象的对称中心也可以是点（0，0），点（π，0），点（2π，0），……即点（kπ，0），k∈Z．再引导学生仔细观

的，这是由它的周期性而来的．

在较为详细地研究了正弦函数的性质后，可以引导学生用类比的方法，写出余弦函数的性质，然后由教师给予订正．

二、余弦函数的性质

画出y＝cosx图象．

1．定义域：x∈R．

2．值域：y∈［-1，1］．

3．周期性：余弦函数y＝cosx是周期函数，最小正周期为2π．T=2kπ（k≠0，k∈Z）都是它的周期．

4．增减性：从余弦函数图象上可以看出，余弦函数在整个实数域上不具备单调性．但具有无数个单调区间，当x∈［2kπ，π＋2kπ］（k∈Z）时，y随x的增大而减小；当x∈［π＋2kπ，2π＋2kπ］（k∈Z）时，y随x的增大而增大．

5．最值：当x=2kπ（k∈Z）时，y取最大值1；当x＝2kπ＋π（k∈Z）时，y取最小值-1，即当x＝kπ（k∈Z）时，y取得最值．

6．奇偶性：余弦函数图象关于y轴对称，从中可以看出余弦函数为偶函数，这可通过cos（-x）=cosx来证明．

（k∈Z）都是对称中心；又是轴对称图形，所有直线x=kπ，k∈Z都是对称轴．

至此，我们对正弦函数、余弦函数的性质已有所了解．下面换个角度进行思考．

当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，如图5．

所以它们的定义域相同，都为R．值域也相同，都是［-1，1］．最大值都是1，最小值都是-1，只不过由于y轴放置的位置不同，使取得最大（或最小）值的时刻不同．它们的周期相同，最小正周期都是2π．它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴．但是由于y轴的位置不同，对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现．也是由于y轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同．也使奇偶性发生了改变．

由此可见，图象的平移变换对函数的性质会产生影响．

三、课堂练习

例1  说出y=sinx（x∈R⁺）的性质．

解  先画出函数图象，再根据图象进行分析．

（注意此函数的定义域对图象的影响）

由图象可知，

定义域：x∈R⁺．

值域：y∈［-1，1］．

奇偶性：从图象上可以看出它非奇非偶．另外，定义域的不对称性也决定了它既非奇也非偶．

周期性：它是周期函数，T=2kπ（k∈N）是它的周期，最小正周期为2π．

对称性：y＝sinx的图象是轴对称图形，它有无数条对称轴，对称

中心，对称中心是（kπ，0），k∈N．

通过这道例题，对正弦函数性质进行了的复习，从中可以看出定义域对函数性质的影响．

例2

由图象去分析函数性质．

定义域：x∈R．

值域：y∈［0，1］．

k∈Z时，y取最大值1．

奇偶性：是非奇非偶函数（图象既不关于y轴对称，又不关于原点呈中心对称）．

周期性：最小正周期为2π．

的增大而减小．

从此题可以让学生初步看到纵伸缩，纵向平移变换不改变对称性，定义域，增减区间等，但函数的某些性质发生了变化．

需要强调的是在分析函数的性质时，若能较为准确地画出图象，最好利用图象去做，有些函数性质也可以从代数变换中得到，一般较为繁杂．例如此题的函数值域可以用不等式变形来做：

再比如奇偶性的讨论：

奇非偶函数.

函数的有些性质利用函数图象来讨论既直观又简明，所以熟记基本的正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的图象，并利用它们作出有关的三角函数图象是分析函数性质的关键．

四、小结

这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质．重点是掌握正弦函数的性质，通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究，更加深了我们对这两个函数的理解．同时也巩固了上节课所学的正弦函数，余弦函数的图象的画法．

学习了函数性质，使我们对过去所学的知识有了新的认识．例如sin（α＋2π）＝sinα这个公式，以前我们只简单地把它看成一个诱导公式，现在我们认识到了它表明正弦函数的周期性．还使我们能够处理一些新问题，例如：

解

在本节课的最后一个例题中出现了图象变换对函数性质的影响．有关这个问题在下节课还要详细分析．总之，学习了函数的性质，特别是学习正弦函数、余弦函数独特的性质周期性后，使我们对它们的其它性质有了进一步的认识，也使我们对两个函数有了较为全面的了解．

作业：课本P177练习第2，3，4题．

课堂教学设计说明

本节课的主要教学思路可概括为：

1．复习函数的性质．

2．研究正弦函数的性质．

3．类比正弦函数的性质，请学生写出余弦函数的性质．

4．两个函数的性质比较．

5．课堂练习．

6．课堂小结．

这节课既是对上节课函数图象的巩固复习，又为下节课讲正弦型曲线打下了基础，是一节承上启下的课．

函数的性质，从初中就开始学习，到高中讲幂、指数、对数函数后有了较深的认识，但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易．而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟．

在讲完正弦函数性质的基础上，引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质，可以加深他们对两个函数的区别与联系的认识．在本节课的最后一个例题中提出函数的某些性质既可用代数方法也可用几何方法思考，是想突出这种思考方式．较好地利用图象解决问题是数形结合思想的体现，是本节课主要强调的数学思想．

在本节课最后小结时，可把正弦函数、余弦函数的性质以表格形式写成投影片上打出，使学生在最后能更进一步加深印象．